< Previous안정훈, 송경준 한국음향학회지 제 44 권 제 1 호 (2025) 24 3(a)는 메타물질과 Fig. 1(a)의 초음파 센서에 결합된 형태를 나타낸 것이다. 메타물질은 초음파 센서와 갭을 벌린 채 결합된다. 보이는 바와 같이 메타물질 은 일정한 패턴을 가지고 반복하는 모양을 가지고 있다. 메타물질의 반경은 R′ = 6.9 mm이고 고리의 폭 은 W1 = 1.2 mm이며, 슬릿의 폭은 W2 = 0.2 mm이다. 두께는 T = 0.75 mm이다. 메타물질과 초음파 센서 사 이의 갭은 g = 50 µm이다. 이와 같은 패턴 구조를 사 용하는 이유는, 초음파 센서가 구동될 때 슬릿과 갭 에 의해 형성된 공간이 음향학적 공진 구조를 형성 하기 때문이다. 특히, 메타물질의 공진 주파수를 초 음파 센서의 진동 공진 주파수와 일치시키면 최대 음향 신호 증폭이 일어나도록 설계되었다. 메타물 질이 작동 주파수 58 kHz에 해당하는 파장과 비교하 였을 때, 센서 크기에 비해 훨씬 큰 증폭이 일어나기 때문에 매우 얇은 두께를 가지고 설계가 가능하다. Fig. 3(b)는 (a)의 붉은 사각형 부분을 확대한 것에 대한 단면도이다. 이를 임피던스 일치 구조라고 한 다. 메타물질은 다공성 물질로 간주하여 일정 부분 에 대하여 해석을 할 수 있다. [8,9] [Pa]는 입력된 음 압이고, [Pa]은 슬릿을 통과한 슬릿 내부의 음 압이다. R o = 0.4 mm는 메타물질 임피던스 일치 구조 에 대한 반지름, R i = 0.1 mm는 기존 슬릿인 원형 튜브 의 반지름이다. 이러한 일부를 나타낸 이유는 음향 Fig. 2. (Color available online) Shape of meta- material. Fig. 3. (Color available online) (a) Ultrasonic sensor with metamaterial (b) unit cell of metamaterial (c) FEA and theoretical value of sound pressure ratio in the frequency domain (d) SPL distribution of unit cell at 58 kHz.음향 메타물질을 활용한 자동차용 초음파 센서 출력 향상 The Journal of the Acoustical Society of Korea Vol.44, No.1 (2025) 25 신호 증폭을 해석하기 위함이다. 이 신호 증폭은 음 압비인 로 계산된다. [4] 음압이 들어오는 튜브의 임피던스를 계산하기 위해 특성 음향 임피던스 개념을 이용한다. [10] Fig. 3(b)에서 제일 윗부분은 단면의 반지름이 인 튜브로 가정한다. 동시에 는 일정 부분에 대한 반지름이다. 이 구간에서의 임피던스를 구하면 이다. 는 공기의 밀도이고 는 공 기의 음속이다. 슬릿은 반지름이 이고 길이가 인 튜브로 고려 될 수 있다. 축 방향으로 인 지점에서의 음압 과 체적 속도를 각각 , 라고 하고 인 지점에서의 음압과 체적 속도를 , 라 고 정한다. 여기서 의 방향은 방향이다. 각 튜브의 내부에서는 는 공기의 밀도, 는 공기의 음속이고 는 파수이다. 음압과 체적 속도에 대한 관계식은 임피던스 행렬 로 나타낼 수 있다. ,(1) sin cos ,(2) sin .(3) 다음으로 갭에서의 임피던스를 구하기 위해 원통 좌표계에서의 파동 방정식을 이용한다. [11] .(4) 이 방정식은 축대칭이므로 인 베셀 방정식이 된다. 시간항을 생략하면, 일반해를 통해 갭에서의 음압은 아래와 같이 주어진다. .(5) 입자 속도는 식 와 ∇ 를 연립하여 로 아래와 같이 주어진다. .(6) 와 는 상수이다. 과 은 각각 1, 2종 베셀 함 수이고 이다. 는 갭에서의 공기의 밀도 이고 는 공기에서의 음속이고 는 파수이다. 여 기서 가장자리의 경계조건으로 이므로 이다. 정의에 의해 로 주어진다. 는 단면적이다. .(7) 임피던스를 계산할 때에는 모든 경계를 hard wall boundary로 고려한다. , 를 Eq. (1) 에 대입하여, 를 소거하면 아래와 같다. .(8) 파장에 비해 좁은 메타물질의 슬릿과 메타물질과 초음파 센서 사이의 갭 때문에 열점성 효과를 고려 해야 한다. [12] 좁은 갭과 슬릿에서 밀도 나 체적탄 성계수 같은 주파수에 의존적인 변수들에 의해 열 점성 효과가 계산된다. tanh ,(9) tanh .(10)안정훈, 송경준 한국음향학회지 제 44 권 제 1 호 (2025) 26 는 공기의 밀도, 는 공기의 체적탄성계수이 며 는 좁은 도파관의 두께이다. , Pr 로 주어진다. 는 대기압이다. 는 자유 공간에서의 공기의 체적탄성계수이다. 공기의 기본적인 특성을 고려해 밀도 , 비열비 , 동점성계수 × ∙ , 프란틀 수 Pr 로 한 다. 공기의 음속은 로 주어진다. 이를 각각 슬릿과 갭의 밀도와 음속에 대해서 대입한다. Fig. 3(c)는 유한요소 해석 결과값과 매트랩으로 계산한 이론값을 비교한 그래프이다. 그래프에서 축 변수는 주파수, 축 변수는 log 이 다. 50 kHz 대역에서 가장 큰 값을 나타내고 있다. Fig. 3(d)는 유한요소 해석에서 58 kHz에서 일정 부 분에 대한 각 지점에 대한 음압레벨(Sound Pressure Level, SPL)을 나타냈다. 는 최솟값을 가지고 는 가 증가할 때마다 증가하는 것을 시뮬레이션 결 과를 통해 확인할 수 있다. 일 때 최댓값을 나 타낸다. 음압레벨은 아래의 식으로 정의된다. [4] log .(11) 위 식에서 이다. Fig. 4(a)는 58 kHz에서 메타물질의 기존 형상을 유 지한 채, 두께 변화에 따른 음압비를 그래프로 나타 낸 것이다. 이 그래프를 통해 0.7 mm와 0.8 mm 사이 에서 음압비가 최대값을 보임을 확인할 수 있다. Fig. 4(b)는 58 kHz에서 메타물질과 초음파 센서 사이의 기존 형상을 유지한 상태에서 갭 변화에 따른 음압 비를 그래프로 나타낸 것이다. 이 그래프에서는 50 μm에서 음압비가 가장 큰 값을 보였다. 이를 통해 메 타물질의 최적 설계를 통해 가장 효과적인 파라미 터를 도출할 수 있음을 제시하였다. III. 메타물질 기반 초음파 센서 성능 유한요소 해석 및 실험 비교 주파수 영역에서의 메타물질 유무에 따른 결과를 보기 위해 메타물질을 적용하여 유한요소 해석을 통해 음향해석을 수행하였다. 적용한 초음파 센서 와 메타물질 형상은 Fig. 1(a)와 Fig. 3(a)에서 제시된 구조와 동일하다. 음향해석은 1 kHz부터 100 kHz까 지 0.1 kHz 간격으로 조화 해석으로 수행하고 초음파 센서 원판부로부터 50 mm의 반구의 공기 영역을 형 성하였다. 알루미늄에는 물성치의 구조감쇠를 활성 화하였다. 원판 내부를 1 N으로 가진하여 원판부 중 앙으로부터 50 mm 떨어진 지점에서 주파수 영역에 대한 음압레벨을 구하였다. 그리고 메타물질 적용 전후로 해석을 수행하였다. Fig. 5(a)과 같이 음압레 벨이 증가한 것을 확인할 수 있다. 그리고 초음파 센 서의 고유주파수인 58 kHz에서 가장 높은 SPL이 측 정되었다. 메타물질을 적용했을 때 그 증가량은 58 kHz에서 10 dB로 가장 큰 음압레벨을 나타내고 있다. 유한요소 해석 도메인은 Fig. 6와 같이 구성하였다. 실험은 함수발생기(Keysight 33600A Waveform Ge- nerator)로 대역폭이 100 kHz이고 진폭이 10 Vpp인 백 색 소음을 연결된 초음파 센서(Multicomp PRO MCUSD Fig. 4. (Color available online) (a) FEA and theoretical value of sound pressure ratio in the thickness at 58 kHz (b) FEA and theoretical value of sound pressure ratio in the gap at 58 kHz.음향 메타물질을 활용한 자동차용 초음파 센서 출력 향상 The Journal of the Acoustical Society of Korea Vol.44, No.1 (2025) 27 14A58S9RS-30C)에 인가하였다. 그리고 데이터 수집 장비(Siemens Scadas Mobile, SSM)를 마이크로폰 (GRAS 46BE 1/4” CCP Free-field Stnadard Microphone Set)에 연결하여 신호를 받아 그래프로 나타내었다. 측정 전, 캘리브레이터(Acoustic Calibrator Type 4231) 를 이용해 SPL을 조정하였고 신호 평균화를 1,000회 실시하여 그 데이터를 얻었다. Fig. 7는 실험에서 사 용된 초음파 센서와 메타물질이 결합된 초음파 센 서다. 실험에서는 메타물질과 초음파 센서 사이의 갭을 만들기 위해 초음파 센서에 얇은 테이프를 진 동하지 않는 가장자리에 붙였다. 실험 환경은 실제 자동차가 운용되는 환경을 고려하여 흠음 처리가 안되고 외부 소음이 있는 장소를 선정했다. 실험 신 호가 초음파임을 고려하여, 소음에 대한 직접적인 영향은 없는 것을 확인했다. Fig. 5(b)에서 초음파 영 역 내, 59 kHz에서 가장 높은 음압레벨을 나타내고 있다. 이는 센서의 설계오차로 추정된다. 메타물질 을 적용하면 시뮬레이션과 같이 58 kHz에서 10 dB 증 가한 것을 확인할 수 있다. 실험의 경우 시뮬레이션 에 비해 SPL값이 낮게 측정된 것을 볼 수 있는데 이 는 유한요소 해석에서 모델링한 초음파 센서와 실 제 초음파 센서의 형상과 스펙이 다르기 때문이다. IV. 거리별 초음파 신호 측정 실험 거리에 대한 신호 크기를 확인하기 위해 초음파 센서에서 발생된 신호를 1 m에서 8 m까지 1 m 간격 으로 마이크로폰을 통해 측정하였다. 초음파 센서 는 함수발생기로 2.5 ms 간격으로 58 kHz 사각파형 이 12회 발생하도록 하여 초음파 센서에 인가했다. 진폭은 10 Vpp이다. Fig. 8에서 각각 초음파 센서와 마이크 사이의 거리가 1 m, 3 m, 5 m, 7 m일 때 신호 파 형을 앰프(Brüel & Kjær 1704)를 통해 10배 증폭하고 오실로스코프(Teledyne LeCroy HDO4034A)로 나타 냈다. 1 m에서 메타물질이 있는 경우 신호 파형이 3.8배 큰 것을 확인할 수 있다. 이를 dB로 환산하면 11.7 dB 정도 증가한 것으로 볼 수 있다. 그리고 3 m, 5 m에서도 3배 이상 증가한 것을 확인할 수 있다. 그리 고 7 m에서는 메타물질이 없는 경우 그 신호를 잡음 때문에 확인할 수 없지만 있으면 그 신호를 확인할 Fig. 5. (Color available online) (a) Comparison of SPL in frequency domain without and with meta- material by FEM (b) comparison of SPL without and with metamaterial by experiments. Fig. 6. (Color available online) Schematic of ultra- sonic sensor with metamaterial harmonic simulation. Fig. 7. (Color available online) Ultrasonic sensors without and with metamaterial.안정훈, 송경준 한국음향학회지 제 44 권 제 1 호 (2025) 28 수 있다. 메타물질을 적용한다면 측정 거리가 늘어 나는 것을 확인할 수 있다. 거리에 대한 신호 크기를 Fig. 9에서 그래프로 나 타냈다. 신호 대 잡음비는 아래와 같이 주어진다. [13] log .(12) 메타물질의 유무에 상관없이 거리가 멀어질수록 진폭이 작아지는 것을 확인할 수 있다. 메타물질이 있는 경우에 진폭이 최소 3배 이상 큰 것도 확인할 수 있다. 그래프를 통해 5 m 이상 거리에서도 메타물질 이 있으면 거리를 측정할 수 있다는 것을 실험을 통 해 확인했다. 메타물질 적용 시 초음파 센서를 이용 한 거리 측정 방법이 향상된다고 할 수 있다. 거리에 대한 신호 대 잡음비는 Table 2에 첨부하였다. 실제 운용되는 차량용 초음파 센서의 경우 초음파가 장 애물에 반사되어 돌아온다. 그 경우에도 신호가 커 진 만큼 회신할 수 있다. Fig. 8. (Color available online) Comparison of ultrasonic signal in time domain without and with metamaterial by distance each 1 m, 3 m, 5 m, 7 m in experiments. Fig. 9. (Color available online) Signal amplitude for distance 1 m to 8 m. Table 2. SNR for the distance without and with metamaterial. Distance (m) SNR dB (dB) Without metaWith meta 123.935.6 21627.9 310.520.1 47.5518.7 54.0714.3 608.67 706.54 805.69음향 메타물질을 활용한 자동차용 초음파 센서 출력 향상 The Journal of the Acoustical Society of Korea Vol.44, No.1 (2025) 29 V. 결 론 본 논문에서 메타물질을 초음파 센서에 적용하여 초음파 신호가 증폭하는 것을 확인하였다. 메타물 질을 적용하였을 때 음압은 3배 정도 증가하고 음압 레벨은 10 dB 증가하는 것을 보였다. 이에 대한 이론 적으로 설명하였고 유한요소 해석과 실험에서 이를 입증하였다. 그리고 거리에 대한 실험을 통해 메타 물질을 적용한 경우에 최종적으로 더 먼 거리까지 초음파 신호를 송·수신 가능한 것을 보였다. 감사의 글 이 논문은 2024년도 산업통상자원부 및 산업기술 평가관리원(KEIT) 연구비 지원에 의한 연구임(0014 4500). References 1.S. Dixon, L. Kang, M. Ginestier, C. Wells, G. Rowlands, and A. Feeney, “The electro-mechanical behaviour of flexural ultrasonic transducers,” Appl. Phys. Lett. 110, 223502 (2017). 2.D. E. Chimenti, “Review of air-coupled ultrasonic materials characterization,” Ultrasonics, 54, 1804-1816 (2014). 3.S. O. Seon and J. O. Kim, “Acousic reception cha- racteristics using horn guide of ultrasonic sensor” (in Korean), Trans. Korean Soc. Noise Vib. Eng. 28, 664-669 (2018). 4.K. Song, J.-H. Kwak, J. J. Park, and S. Hur, “Acoustic metasurfaces for efficient matching of non-contact ultrasonic transducers,” Smart Mater. Struct, 30, 085011 (2021). 5.K. Song, J. Kim, S. Hur, J.-H. Kwak, S.-H. Lee, and T. Kim, “Directional reflective surface formed via gradient- impeding acoustic meta-surfaces,” Sci. Rep. 6, 32300 (2016). 6.Z. Li, D.-Q. Yang, S.-L. Liu, S.-Y. Yu, M.-H. Lu, J. Zhu, S.-T. Zhang, M.-W. Zhu, X.-S. Guo, H.-D. Wu, X.-L. Wang, and Y.-F. Chen, “Broadband gradient impedance matching using an acoustic metamaterial for ultrasonic transducers,” Sci. Rep. 7, 42863 (2017). 7.G. Ma, M. Yang, S. Xiao, Z. Yang, and P. Sheng, “Acoustic metasurface with hybrid resonances,” Nat. Mater. 13, 873-878 (2014). 8.X. Wang, “Acoustical mechanism for the extraordinary sound transmission through subwavelength apertures,” Appl. 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William, Data and Computer Communications (PEARSON, Boston, 2014), pp. 99-101. 저자 약력 ▸안 정 훈 (Jeonghun Ahn) 2023년 2월 : 부산대학교 기계공학부 학사 2023년 3월 ~ 현재 : 부산대학교 기계공학 부 석사과정 ▸송 경 준 (KyungJun Song) 2002년 8월 : 서울대 기계공학부 학사 2004년 8월 : University of Michigan 기계공 학과 석사 2010년 8월 : University of Michigan 기계공 학과 박사 2012년 5월 : University of Michigan EECS Postdoc 2019년 2월 : 한국기계연구원 선임연구원 2019년 3월 ~ 현재 : 부산대학교 기계공학 부 부교수I. 서 론 최근 친환경 교통에 대한 인식이 고조됨에 따라 철도 주행으로 인해 발생하는 환경 소음 및 환경 진 동에 대한 규제 요구가 꾸준히 증가하고 있다. 특히 철도에 의해 유기되는 지반진동은 철로 주변 지역 민들의 주거 환경에 직결되는 중요한 요소이다. 따 라서 철도 시스템을 친환경 교통수단으로 지속 발 <리뷰논문> 철도기인 지반진동 해석을 위한 지반 이론모델링 및 지반의 파동 전파 특성 분석 Theoretical ground modelling for train-induced ground vibration and analysis on wave propagation along ground 유정수, 1† 윤제원, 2 홍병국 3 (Jungsoo Ryue, 1 † Jewon Yoon, 2 and Byungkuk Hong 3 ) 1 울산대학교 조선해양공학부, 2 팀버웨어(주), 3 유니슨테크놀로지(주) (Received November 5, 2024; accepted December 23, 2024) 초 록: 최근 교통 환경에 대한 인식이 고조됨에 따라 철도로 인한 지반진동 문제가 꾸준히 제기되고 있다. 철도로 인한 지반진동 문제에 효과적으로 대응하기 위해서는 철도기인 지반진동을 신뢰성 있게 예측할 수 있는 이론적 궤도-지 반 연성 모델의 개발이 필요하다. 그러나 그동안 국내에서는 이론적 궤도-지반 연성 해석에 대한 연구가 드물었다. 본 논문에서는 철도기인 지반진동 해석을 위한 이론적 궤도-지반 연성 모델 구축을 목적으로, 지반에 대한 이론 모델링을 수행하였다. 지반은 하부 반무한 지반 위에 여러 개의 지층이 놓인 다층 탄성체 지반으로 가정하였으며, 지표면에 작용 하는 하중과 지표면 임의지점의 변위 응답의 관계를 지반 유연도행렬로 정식화하였다. 지반진동 해석 예로써, 하나의 상부 지층과 하부 반무한 지반으로 구성된 지반 모델에 대하여 지반의 파동 전파 특성을 검토하고, 지면에 고정 하중 또 는 이동 하중이 작용할 때 발생하는 지반의 진동 응답을 해석하고 그 특성을 검토하였다. 핵심용어: 철도 지반진동, 지반 모델, 유연도 행렬, 이동 하중 ABSTRACT: In recent years, ground-borne vibration produced by running trains has brought growing concerns as the demand for the comfortable living environments increases. To manage these problems, reliable analysis models are required, which can combine railway track and ground coupled. Unfortunately, however, domestic researches on developing theoretical track-ground models for train-induced ground vibration were little so far. In this paper, a theoretical ground model is reviewed for the purpose of producing a track-ground coupled model. The ground is treated as an elastic medium which consists of multiple layers above a bottom half-space. In this modelling, the ground is formulated by the flexibility matrix. As an analysis example, a ground which has a single upper layer on a bottom half-space is examined to figure out the features of wave propagation along ground. Also the effect of various loads (single or multiple, fixed or moving loads) onto the ground vibration is investigated. Keywords: Railway ground vibration, Ground model, Flexibility matrix, Moving loads PACS numbers: 43.40.At, 43.40.Ph, 43.20.Bi 한국음향학회지 제44권 제1호 pp. 30～39 (2025) The Journal of the Acoustical Society of Korea Vol.44, No.1 (2025) https://doi.org/10.7776/ASK.2025.44.1.030 pISSN : 1225-4428 eISSN : 2287-3775 †Corresponding author: Jungsoo Ryue (jsryue@ulsan.ac.kr) School of Naval Architecture and Ocean Engineering, University of Ulsan, 93 Daehak-ro, Nam-gu, Ulsan 44610, Republic of Korea (Tel: 82-52-259-2168, Fax: 82-52-259-5677) Copyrightⓒ 2025 The Acoustical Society of Korea. This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. 30철도기인 지반진동 해석을 위한 지반 이론모델링 및 지반의 파동 전파 특성 분석 The Journal of the Acoustical Society of Korea Vol.44, No.1 (2025) 31 전시키기 위해서는 철도기인 지반진동을 효과적이 고 신뢰성 높게 예측할 수 있는 해석 기법의 개발 및 확보가 시급하다. 철도차량의 주행으로 인해 유기되는 지반진동을 예측하기 위해서는 철도 궤도 모델과 지반 모델이 결합 된 궤도–지반 연성모델이 구축되어야 한다. 철 도 관련 연구가 활발한 유럽의 경우, 철도 기인 지반 진동을 예측하기 위한 이론적 또는 수치적 궤도-지 반 연성모델을 오랜 기간 개발해 오고 있다. [1-5] 그러 나 국내에서는 철도기인 지반진동의 발생 기구 및 전파 특성 등에 대한 체계적인 연구가 거의 이루어 지지 못하였다. 이로 인해 아직 국내에서는 철도기 인 지반진동을 신뢰성 있게 예측할 수 있는 해석 모 델이 구축되지 못하였다. 다만, 유한요소법과 같은 수치 해석을 기반으로 한 소수의 연구가 수행되어 왔으나, 차량, 궤도, 지반 및 접촉하중을 통합한 이론 모델 개발 연구는 거의 수행되지 못하였다. 궤도-지반 연성 모델을 구축하기 위해서는 궤도 와 지반에 대한 각각의 이론 모델이 필요하다. 철도 전동소음 해석에 이미 궤도 모델이 적용되고 있으 므로 철도기인 지반진동 해석을 위한 궤도 모델 개 발에 큰 어려움은 없다고 판단된다. 반면, 지반에 대 한 이론적 모델링은 국내에서 수행된 바 없으므로, 본 연구에서는 지반진동 해석을 위한 이론적 지반 모델링을 수행하였다. 지반에 대한 이론모델링은 강성행렬 [6,7] 또는 유연 도행렬 [2,3,8] 을 이용하는 방법이 있다. 강성행렬 방법 은 지층의 개수에 따라 행렬의 크기가 증가하며, 지 반의 변위를 얻기 위해 강성행렬의 역행렬 계산이 필요하므로 수치적 안정성 문제를 갖는다. 반면, 유 연도행렬 방법에서는 지층수에 상관없이 연산에 필 요한 행렬의 크기가 [6 × 6]을 넘지 않으므로 연산이 단순하며 수치적 안정성이 높다. 또한 파수영역에 서 해석을 수행하므로 궤도 모델과 연성하기가 용 이하다. 본 연구에서는 Reference [8]을 참조하여 유연도행 렬을 이용한 지반 모델링을 수행하였다. 그리고 구 축된 지반 모델을 이용하여 지반을 통한 파동 전파 및 지반의 진동 응답 특성을 살펴보았다. II. 이론적 지반 모델링: 유연도행렬 2.1 지배방정식 본 연구에서 지반은 Fig. 1에 나타낸 것과 같이 반 무한 지반 위에 여러 개의 수평 지층이 놓인 다층 탄 성체로 가정한다. 번째 지층에서 , , 방향(길이, 폭, 깊이 방향) 변위를 각각 , , 라고 하자. 주파수 의 , , 방향 하중 , , 이 지표면에 작 용하는 경우 , 방향 파수( , )와 주파수( ) 영역 에서 표현한 번째 지층의 Navier 방정식은 Eqs. (1) ~ (3)과 같다. ,(1) ,(2) ,(3) 여기서 ⋅ 는 와 방향 파수영역에서 정의되는 변 수이고, 는 Dirac 델타 함수를 의미하며, Fig. 1. Coordinate system for image construction using synthetic aperture sonar. 유정수, 윤제원, 홍병국 한국음향학회지 제 44 권 제 1 호 (2025) 32 이다. 와 는 번째 지층 의 Lamé 상수로서 sgn ,(4) sgn ,(5) , , 는 각각 탄성계수, 프와송비, 감쇠손실계수 를 의미한다. 번째 지층의 압축파와 전단파 전파 속 도는 , 이며, 파수 는 , 이다. Eq. (1)에 를, Eq. (2) 에 를 곱하고, Eq. (3)을 에 관해 미분한 후 세 식을 합산하여 간략히 정리하면 (6) 이다. Eq. (6)의 해는 이며, 여 기서 와 는 번째 지층이 갖는 방향 변위의 크 기, ± ± 이다. 하부 반무한 지반의 지배방정식은 하첨자 만 로 대체하면 Eqs. (1) ~ (3)과 동일하다. 반무한 지반의 범위는 ≥ 이므로 해는 양의 방향 으로 진행하는 파동만 갖는다. 따라서 반무한 지반 의 해, ,은 Eq. (7)과 같다. .(7) 2.2 지반의 변위와 응력-변형률 Eqs. (1) ~ (3)에 Eq. (6)의 해 를 대입하면 ,(8) ,(9) (10) 이다. 여기서 이며, , , , , , , 그리고 는 각 파동의 크기를 나타내 는 미지 계수이다. 하부 반무한 지반의 경우에는 양 의 방향으로 진행하는 파동해만 존재하므로 변위 해는 Eqs. (11) ~ (13)과 같다. ,(11) ,(12) .(13) 한편, 번째 지층의 응력- 변형률 관계식을 2차원 Fourier 변환한 뒤 변위해를 대입해 정리하면 ,(14) ,(15) (16)철도기인 지반진동 해석을 위한 지반 이론모델링 및 지반의 파동 전파 특성 분석 The Journal of the Acoustical Society of Korea Vol.44, No.1 (2025) 33 이다. 하부 반무한 지반( )에 대해서도 동일 한 과정을 수행하면, Eqs. (14) ~ (16)에서 미지계수 , , 로 구성된 응력식을 얻는다. 2.3 지반의 유연도 행렬 번째 지층 상단( )과 하단( )의 파수 영역 변위 벡터와 응력 벡터를 각각 , 와 , 라 하고, 지층 상단과 하단의 상태벡터를 각각 , 로 정의하자. 여 기서 세미콜론은 행바꿈을 의미한다. 6개의 미지계 수로 구성된 계수 벡터 T 를 이용해 와 을 행렬로 표현하면 , (17) 이며, Eq. (17)의 두 식에서 를 소거하면 지층 하단 과 상단의 상태벡터는 Eq. (18)의 관계를 갖는다. .(18) 반무한 지반의 변위 Eqs. (11) ~ (13)을 계수 벡터 T 를 이용해 벡터로 표현하 면 이다. 마찬가지로, 반무한 지반 의 응력 벡터는 가 되므로 를 소거하여 변위-응력 관계를 구하면 (19) 이며, 여기서 과 는 [ × ]의 정방행렬이다. 지표면에 외력 T 가 작용하는 경우, 첫 번째 지층 상단의 상태 벡터( )는 지층 상단변위 와 외력을 분리하여 로 쓸 수 있으며, T , T 이다. 지반을 구성하는 모든 지층의 경계에서 변위 연속 조건과 힘의 평형 조건을 적용해 정리하면 ⋯ ,(20) 여기서 ⋯ 라 하면 Eq. (20)은 (21) 로 쓸 수 있다. 여기서 와 는 번째 지층 하단 의 변위 를 만들어 내는 지표면 상단 변위 와 압력 의 기여도를 나타내며, 과 는 지표면 하단 응력 을 유발하는데 지표면 상단 변위와 압 력 사이 관계를 나타낸다. 이므로, Eq. (21)을 변위에 관한 식과 응력에 관한 식으로 전 개하고, 하부 반무한 지반의 상단에서 변위 연속 조 건 및 응력 평형 조건을 적용하면 (22) 이다. Eq. (22)의 좌변 행렬을 단위행렬로 만들면 (23) 이다. 여기서 는 [3 × 3]의 크기를 갖는 유연도행렬 (또는 컴플라이언스 행렬)이다. 주파수 의 방향 조화 하중이 축을 따라 일정 속도 로 이동하는 경우, 지표면에 작용하는 하중은 로 표현할 수 있다. 이 하중을 와 에 대해 2차원 Fourier 변환하면 이 되며, 주파수를 로 정의하면 이동하중 작용 시 에도 지층의 지배 방정식은 Eqs. (1) ~ (3)과 동일하다. 즉, 의 관계를 적용하면 앞서 기술한 유연 도행렬 은 이동하중에 대해서도 동일하다. Next >